О.Н.Кириллов

аспирант Московского
государственного университета

Научный руководитель
д.ф.-м.н., проф. А.П.Сейранян

Oleg N. Kirillov

Оптимизация устойчивости летящего стержня
Copyright © 1999, О.Н.Кириллов

Рассматривается стержень переменного сечения, движущийся в плоскости под действием следящей силы, приложенной к концу стержня. Требуется максимизировать критическое значение следящей силы, вызывающее статическую или динамическую потерю устойчивости. Управляющими функциями являются распределение массы и жесткости стержня или распределение массы несомого стержнем груза. Сначала ищется оптимальное распределение массы и жесткости стержня, поперечные сечения которого являются геометрически подобными фигурами, при неизменной полной массе материала. Получено распределение массы стержня, приводящее к существенному увеличению критической силы. Затем рассматривается задача об оптимальном распределении заданной неконструктивной массы вдоль стержня постоянного поперечного сечения, так чтобы масса груза, приходящаяся на единицу длины стержня, не превосходила заданной величины. При помощи принципа максимума Л.С.Понтрягина показано, что оптимальные решения реализуются в классе релейных функций. Приведены решения с двумя и четырьмя точками переключения. Рассмотрен также случай, когда вся неконструктивная масса сосредоточена в одной точке. Построены и проанализированы области устойчивости 

Optimization of Stability of the Flying Bar

A non-uniform bar moving in space under a tangential end force is considered. It is supposed that the bar can carry a nonstructural mass (a payload). This nonconservative system can lose stability by flutter or by divergence under certain conditions. Changing mass and/or stiffness distribution of the bar or nonstructural mass distribution we can influence the critical end force. Two optimization problems with critical follower load as a merit functional are studied, mass distributions of the bar and payload being taken as control functions. First we consider a bar without nonstructural mass. It is supposed that cross-sections of the bar are similar geometric figures and that the total mass of the bar is constant. It is necessary to find a mass distribution of the bar maximizing critical follower force. The mass distribution which significantly improves stability characteristics of the bar is obtained. Then a uniform bar carrying nonstructural mass is considered. We would like to maximize critical end force under the condition of total mass of the payload, assuming that admissible nonstructural mass distribution is a bounded function. With the use of Pontryagin's maximum principle it is shown that the optimal nonstructural mass distributions belong to the "bang-bang" type. Optimal solutions with two and four switching points are found. The problem of optimal displacement of a concentrated mass along the uniform bar is also considered. It is shown that the optimal solution is attained at the singularity of a boundary of the stability domain